Chapter 2. बहुपद

 Chapter 2. बहुपद

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प्रश्नावली 2.1

Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |

Solution(i):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0;  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है ) 

Solution(ii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )

Solution (iii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

Solution (iv):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;

Solution (v):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;

Solution (vi):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3; 

Chapter 2. बहुपद

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प्रश्नावली 2.2

Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए | 

(i) x² – 2x – 8

a = 1, b = – 2, और c = – 8

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Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं : 

प्रश्नावली 2.3 

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Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x

(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

हल : (i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

भागफल q(x) = x - 3 और शेषफल = 7x - 9 है |

हल : (ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x

 

भागफल q(x) = x² + x - 3 और शेषफल = 8 है |

हल : (iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

भागफल q(x) = - x² - 2 और शेषफल = - 5x + 10  है |

Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :

(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12

(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

हल : (i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |

हल : (iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |

अत: x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है | 

हल :

दिया है : p(x) = 3x⁴ + 6x³ - 2x² - 10x - 5

अब 3x² - 5 से 3x⁴ + 6x³ - 2x² - 10x - 5 में भाग देने पर 

अत: p(x) = (3x² - 5) (x² + 2x + 1)

अब, x² + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर -

Q4. यदि x³ - 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x - 2 और - 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : भाज्य p(x) = x³ - 3x² + x + 2

भागफल q(x) = x - 2,

शेषफल r(x) = - 2x + 4

भाजक g(x) = ?

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

p(x) = g(x) × q(x) + r(x) 

x³ - 3x² + x + 2 = g(x) (x - 2) + (- 2x + 4)

x³ - 3x² + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2)

g(x) (x - 2) = x³ - 3x² + 3x - 2 

अत: भाजक g(x) = x² - x + 1 है |

Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल :

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)  जहाँ q(x) ¹ 0 हो

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |

उदाहरण : माना p(x) = 2x² - 6x + 3

और माना g(x) = 2

भाग देने पर

p(x) = 2x² - 6x + 2 + 1

     = 2(x² - 3x + 1) + 1

अब  2(x² - 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :

अत: q(x) = x² - 3x + 1 और r(x) = 1

इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे -

माना p(x) = 2x² + 6x + 7 और g(x) = x² + 3x + 2

भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3

अत: घात q(x) = घात r(x) है |

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :

माना p(x) = x² - 1 और g(x) = x + 1

विभाजित करने पर

q(x) = x - 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है | 

प्रश्नावली 2.4 

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Q1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:

(i) 2x³ + x² - 5x + 2; α = ½, β = 1 और γ = – 2;

हल :

दिया है : शुन्यक α = ½, β = 1 और γ = – 2 है |

और गुणांक a = 2, b = 1, c = - 5 और d = 2 

शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच :